当n趋向于∞时,求[ln (5+n)-ln n]的极限

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/19 03:12:09
当n趋向于∞时,求[ln (5+n)-ln n]的极限
要有过程,希望附的详解.拜托各位了.
不好意思,我前面漏乘一个n.这个式子再乘以n.

设y=n[ln (5+n)-ln n]
令n=1/t
则n→∞即t→0
lim(n→∞)n[ln (5+n)-ln n]=lim(t→0)[ln(5+1/t)-ln1/t]/t
由洛必达法则lim(t→0)[ln(5+1/t)-ln1/t]/t
=lim(t→0){-1/[t(5t+1)]+1/t}
=lim(t→0)5/(5t+1)
=5

ln(5+n)-ln n =ln[(5+n)/n]
=ln[(5/n)+1]
当n趋近于无穷大时,5/n趋近于0
则5/n)+1趋近于1
ln1=0
所以[ln (5+n)-ln n]的极限=0

ln(5+n)-ln n =ln[(5+n)/n]
当n趋近于无穷大时，(5+n)/n趋近于1
ln1=0

所以，该极限的值为0

n[ln (5+n)-ln n]
=n[ln (5+n)/n]
=n[ln (1+5/n)]
=ln (1+5/n)^n

因为(1+1/n)^n=e
(1+5/n)^n/5 =e

所以ln (1+5/n)^n =ln (1+5/n)^n/5*5
=lne^5=5

如果还不理解可以发小枝条问我^-^

ln[((5/n)+1)^n]
(1+(5/n))^n/5*5=e^5
所以n[ln (5+n)-ln n]=5;

楼上的结果是正确的，可惜过程稍显繁琐，我来写一个详细的吧。
这是大学高等数学里的极限问题
解法一：用洛必达法则
设y=n[ln(5+n)-ln n]
则y=n*ln[(5+n)/n)]=n*ln[(5/n)+1]
令n=1/t,则n→∞时t→0
则lim(t→0)y=lim(t→0)ln(5*t+1)/t ……(1)
t→0时,分子ln(5*t+1)→0, 分母t→0
由洛必达法则，分子分母同时对t求导得
lim(t→